Rückschlüsse durch Kontraposition

Direkte Beweise und Kontraposition · Abschnitt 22 von 60

Intuition

Manchmal ist der Umweg der kürzere Weg

Die Aufgabe sagt oft: „Aus dem Ergebnis folgere etwas über die Eingabe.“ Vorwärts ist das schwer. Der Trick: Beweise die Kontraposition – dieselbe Aussage, nur rückwärts gelesen. Sie ist logisch genauso stark.

Satz

Logische Gleichwertigkeit

„Wenn $A$ , dann $B$ “ ist genau so stark wie die Kontraposition „Wenn nicht $B$ , dann nicht $A$ “.

Wenn du die eine bewiesen hast, hast du die andere mitbewiesen.

Gelöstes Beispiel

Beispiel: Ungerades Quadrat

Behauptung. Ist $n^2$ ungerade, so ist $n$ ungerade.

Warum Kontraposition? Vom Quadrat zurück auf $n$ ist unangenehm. Vorwärts ist es leicht.

Kontraposition. Ist $n$ gerade, so ist $n^2$ gerade.

Beweis. $n=2k$ → $n^2=4k^2=2(2k^2)$ → gerade.

Damit ist die Kontraposition wahr – und damit auch die Behauptung.

Typischer Fehler

Kontraposition ≠ Umkehrung

Zu „Wenn $A$ , dann $B$ “:

Umkehrung: Wenn $B$ , dann $A$ – oft falsch, muss separat geprüft werden.
Kontraposition: Wenn nicht $B$ , dann nicht $A$ – immer gleichwertig.

Merke: Umkehrung dreht die Pfeilrichtung um. Kontraposition dreht und negiert beide Seiten.

Negationen – so sagst du „nicht …“

Aussage	Negation (das Gegenteil)
$n$ ist gerade	$n$ ist ungerade
beide Faktoren sind ungerade	mindestens einer ist gerade
mindestens ein Faktor ist gerade	beide sind ungerade
die Summe ist ungerade	die Summe ist gerade