Geometrische Verfeinerungen

Gitterwege und geometrische Parität · Abschnitt 35 von 60

Gelöstes Beispiel

Geschlossene Wege

Aufgabe. Ein Weg startet und endet am selben Punkt und geht nur orthogonal in Einheitsschritten.

Idee. Endfarbe = Startfarbe. Jeder Schritt wechselt die Farbe.

Schluss. Die Länge muss gerade sein (sonst wärst du auf der anderen Farbe).

Gelöstes Beispiel

Vier Klassen für Mittelpunkte

Problem. Wann ist der Mittelpunkt von $A$ und $B$ wieder ein Gitterpunkt?

Zwei Farben reichen nicht. Schau dir beide Koordinaten getrennt an: das Paar $(x\bmod2,\,y\bmod2)$ – das sind vier Klassen.

Regel. Der Mittelpunkt ist genau dann ein Gitterpunkt, wenn $A$ und $B$ in derselben Klasse liegen (gleiche Parität in $x$ und in $y$ ).

Strategie

So fein wie nötig – nicht feiner

Zwei Farben (aus $x+y$ ) genügen für Nachbarn und Weglängen. Brauchst du getrennte Information über $x$ und $y$ (z. B. Mittelpunkte), nimm vier Klassen. Mehr Technik nur, wenn die Aufgabe es wirklich verlangt.