Die zentralen Produktsätze

Parität von Produkten · Abschnitt 17 von 60

Intuition

Ein einziger gerader Faktor steckt an

Beim Multiplizieren reicht ein gerader Faktor, um das ganze Produkt gerade zu machen – wie ein Tropfen blaue Farbe, der den Teig einfärbt. Umgekehrt ist ein Produkt nur dann ungerade, wenn alle Faktoren ungerade sind.

Satz

Gerader Faktor

Ist mindestens ein Faktor eines ganzzahligen Produkts gerade, so ist das Produkt gerade.

Beweis

Ist zum Beispiel $a=2k$ , dann gilt $ab=(2k)b=2(kb).$ Weil $kb$ ganzzahlig ist, ist $ab$ gerade. (Dasselbe gilt, wenn der gerade Faktor $b$ ist.)

Satz

Ungerades Produkt

Ein Produkt ganzer Zahlen ist genau dann ungerade, wenn jeder seiner Faktoren ungerade ist.

Beweis

Beweis für zwei Faktoren

Richtung 1 (alle ungerade → Produkt ungerade). Seien $a=2r+1$ und $b=2s+1$ . Dann $ab=4rs+2r+2s+1=2(2rs+r+s)+1,$ also ungerade.

Richtung 2 (Produkt ungerade → alle ungerade). Wäre ein Faktor gerade, wäre das Produkt nach dem ersten Satz gerade – Widerspruch. Also sind beide Faktoren ungerade.