Erste vollständige Beweise

Aufgabe. Zeige: Ist $n$ gerade, so ist $n+1$ ungerade.

Idee. Gerade heißt „Zweierpaar ohne Rest“. Addierst du 1, bleibt genau dieser Rest 1.

Lösung. Weil $n$ gerade ist, gibt es eine ganze Zahl $k$ mit $n=2k$. Dann ist $n+1=2k+1.$ Das ist genau die Definition von „ungerade“. Fertig!

Aufgabe. Beweise: Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.

Idee. Jede ungerade Zahl ist „gerade plus 1“. Zwei solche Einsen ergeben 2 – und 2 ist gerade.

Lösung. Schreibe $x=2a+1$ und $y=2b+1$ mit ganzen Zahlen $a,b$. Dann $x+y=2a+1+2b+1=2(a+b+1).$ Der Ausdruck in der Klammer ist ganzzahlig, also ist $x+y$ gerade.

Aufgabe. Ist $n$ gerade, dann ist $n^2$ durch 4 teilbar.

Idee. Gerade bedeutet „zweimal etwas“. Quadrieren verdoppelt den Faktor 2.

Lösung. Schreibe $n=2k$. Dann $n^2=(2k)^2=4k^2.$ Weil $k^2$ ganzzahlig ist, teilt 4 die Zahl $n^2$.