Definition und Darstellung

Was bedeutet gerade und ungerade? · Abschnitt 2 von 60

Definition

Gerade ganze Zahl

Eine ganze Zahl $n$ heißt gerade, wenn man sie als $n=2k$ schreiben kann – mit einer ganzen Zahl $k$ .

Alltagssprache: $n$ lässt sich restlos in Zweierpaare legen. Beispiele: $8=2\cdot4$ , $0=2\cdot0$ , $-6=2\cdot(-3)$ .

Definition

Ungerade ganze Zahl

Eine ganze Zahl $n$ heißt ungerade, wenn man sie als $n=2k+1$ schreiben kann – mit einer ganzen Zahl $k$ .

Alltagssprache: Beim Paaren bleibt genau 1 übrig. Beispiele: $7=2\cdot3+1$ , $-5=2\cdot(-3)+1$ , $1=2\cdot0+1$ .

Typischer Fehler

0 ist gerade – wirklich!

Viele denken: „0 ist nichts Besonderes, also weder gerade noch ungerade.“ Falsch: $0=2\cdot0$ , also ist 0 gerade.

Merke: „Gerade“ heißt nicht „positiv und durch 2 teilbar“. Es heißt nur: durch 2 teilbar – und 0 ist durch 2 teilbar.

Satz

Genau eine der beiden Möglichkeiten

Jede ganze Zahl ist entweder gerade oder ungerade – nie beides, nie keines von beiden.

Beweis

Beweis (kurz und klar)

Teilst du eine ganze Zahl $n$ durch 2, bleibt als Rest nur 0 oder 1 übrig.

Rest 0: $n=2k$ → gerade.
Rest 1: $n=2k+1$ → ungerade.

Könnte $n$ beides sein? Dann gäbe es ganze $a,b$ mit $2a=2b+1$ . Daraus folgt $2(a-b)=1$ . Links steht eine gerade Zahl, rechts 1 – unmöglich. Also gibt es keine Zahl, die beides zugleich ist.

Strategie

Dein Super-Trick: die Standardübersetzung

Sobald eine Aufgabe „gerade“ oder „ungerade“ sagt und etwas für alle solchen Zahlen behauptet:

Schreibe gerade Zahlen als $2k$ .
Schreibe ungerade Zahlen als $2k+1$ .
Brauchst du zwei unabhängige Zahlen? Nimm verschiedene Hilfsbuchstaben, z. B. $2a+1$ und $2b+1$ – nicht zweimal dasselbe $k$ .