Beispiele und Verbindungen

Parität von Produkten · Abschnitt 19 von 60

Gelöstes Beispiel

Beispiel 1: Nachbarprodukt

Behauptung. $n(n+1)$ ist immer gerade.

Warum. Von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen ist genau eine gerade. Dieser gerade Faktor macht das Produkt gerade.

Gelöstes Beispiel

Beispiel 2: Ungerade Potenz

Behauptung. Ist $n$ ungerade, so ist auch $n^5$ ungerade.

Warum. $n^5=n\cdot n\cdot n\cdot n\cdot n$ besteht aus fünf ungeraden Faktoren – also ist das Produkt ungerade.

Gelöstes Beispiel

Beispiel 3: Erst faktorisieren

Behauptung. $n^2-n$ ist immer gerade.

Idee. Nicht ausmultiplizieren, sondern faktorisieren: $n^2-n=n(n-1).$

Warum. $n$ und $n-1$ sind Nachbarn – einer ist gerade.

Strategie

Verbindung zu Primfaktoren (Ausblick)

„Gerade“ heißt: In der Primfaktorzerlegung kommt die 2 mindestens einmal vor. Manchmal brauchst du genauer zu wissen, wie oft die 2 vorkommt (durch 4? durch 8?). Dann zählst du die Zweierfaktoren – Parität allein reicht nicht mehr.

Achtung

Parität ist grob

6 und 8 sind beide gerade, aber nur 8 ist durch 4 teilbar. Wenn eine Aufgabe zwischen solchen Zahlen unterscheiden muss, arbeite mit Resten modulo 4 – nicht nur mit G/U.