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Kapitel 6Fortgeschritten23 Min.

Gemeinsame Vielfache und das kgV

Gemeinsame Vielfache und das kgV · Abschnitt 21 von 64

Intuition

Der erste gemeinsame Treffpunkt

Zwei Busse fahren alle 4 bzw. 6 Minuten. Wann fahren sie wieder gemeinsam ab? Beim kleinsten gemeinsamen Vielfachen – dem ersten gemeinsamen Treffpunkt der beiden Rhythmen.

Definition

Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Für positive ganze Zahlen a,ba,b ist kgV⁡(a,b)\operatorname{kgV}(a,b) das kleinste positive gemeinsame Vielfache von aa und bb. Die 0 ist zwar ein gemeinsames Vielfaches, wird wegen „positiv“ aber nicht gewählt.

Gelöstes Beispiel

Beispiel: 12 und 18

Die Listen 12,24,36,…12,24,36,\ldots und 18,36,54,…18,36,54,\ldots treffen sich erstmals bei 36. Daher ist kgV⁡(12,18)=36\operatorname{kgV}(12,18)=36.

Satz

Alle gemeinsamen Vielfachen

Ist m=kgV⁡(a,b)m=\operatorname{kgV}(a,b), dann sind genau die positiven Vielfachen m,2m,3m,…m,2m,3m,\ldots gemeinsame positive Vielfache von aa und bb.