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Kapitel 11Fortgeschritten30 Min.

Diophantische Gleichungen-Training

Lineare diophantische Gleichungen · Abschnitt 44 von 64

Übungen

Aufgabe

Kann 6x+9y=206x+9y=20 ganzzahlig gelöst werden?

Grundlagen5 Min.

Entscheide ohne langes Probieren, ob 6x+9y=206x+9y=20 ganzzahlige Lösungen besitzt.

Aufgabe

Löse 6x+9y=216x+9y=21

Grundlagen6 Min.

Finde eine ganzzahlige Lösung von 6x+9y=216x+9y=21 und begründe vorher die Lösbarkeit.

Aufgabe

Eine Bézout-Gleichung

Aufbau8 Min.

Löse 35x+12y=135x+12y=1 mithilfe des euklidischen Algorithmus.

Aufgabe

Alle Lösungen von 15x+21y=615x+21y=6

Aufbau9 Min.

Finde alle ganzzahligen Lösungen von 15x+21y=615x+21y=6.

Aufgabe

Nichtnegative Lösungen von 4x+7y=394x+7y=39

Aufbau9 Min.

Finde alle Lösungen von 4x+7y=394x+7y=39 mit x,y≥0x,y\ge0.

Aufgabe

Briefmarken zu 7 und 11 Punkten

Fortgeschritten9 Min.

Eine Sammlung enthält Briefmarken zu 7 und zu 11 Punkten und hat insgesamt 100 Punkte. Wie viele Marken jeder Sorte sind möglich, wenn beide Anzahlen nichtnegativ sind?

Aufgabe

Das Lösbarkeitskriterium beweisen

Fortgeschritten12 Min.

Zeige: ax+by=cax+by=c besitzt genau dann eine ganzzahlige Lösung, wenn ggT⁡(a,b)∣c\operatorname{ggT}(a,b)\mid c.

Aufgabe

Genau 500 Punkte

Olympiade14 Min.7 P.

Finde alle positiven ganzzahligen Lösungen von 17x+23y=50017x+23y=500 und beweise ihre Vollständigkeit.

Zusammenfassung

Existenz, Konstruktion, Vollständigkeit

Das ggT-Kriterium entscheidet die Existenz. Bézout oder eine Kongruenz liefert eine erste Lösung; die homogenen Schrittweiten erzeugen danach alle Lösungen.

Checkliste

Selbstkontrolle

  • Prüfe ich zuerst den ggT?

  • Kann ich eine Bézout-Darstellung rückwärts finden?

  • Verwende ich die Schrittweiten b/gb/g und a/ga/g?

  • Übersetze ich Nichtnegativität korrekt in Parameterschranken?

  • Begründe ich die Vollständigkeit?