Das kgV bestimmen

Gemeinsame Vielfache und das kgV · Abschnitt 22 von 64

Strategie

Kleine Zahlen: Listen vergleichen

Beginne mit den Vielfachen der größeren Zahl und prüfe sie der Reihe nach auf Teilbarkeit durch die kleinere. Der erste Treffer ist das kgV.

Satz

Produktformel

Für positive ganze Zahlen $a,b$ gilt $\operatorname{ggT}(a,b)\cdot\operatorname{kgV}(a,b)=ab$ . Ist der ggT bekannt, folgt $\operatorname{kgV}(a,b)=ab/\operatorname{ggT}(a,b)$ .

Hinweis für Begleitende

Woher kommt die Produktformel?

Wir verwenden die Produktformel hier als Satz. Ihr vollständiger struktureller Beweis folgt in Teil IV: In der Primfaktorzerlegung nimmt der ggT jeweils den kleineren, das kgV den größeren Exponenten; zusammen ergeben sie die Exponenten von $ab$ .

Typischer Fehler

Erst teilen, dann multiplizieren

Berechne $ab/\operatorname{ggT}(a,b)$ möglichst als $(a/\operatorname{ggT}(a,b))\cdot b$ . Das hält die Zwischenzahlen klein und vermeidet Rechenfehler.