Rechnen und Potenzzyklen

Kongruenzen und Restklassen · Abschnitt 38 von 64

Satz

Erlaubte Rechenoperationen

Kongruenzen mit gleichem Modul dürfen addiert, subtrahiert und multipliziert werden. Daraus folgt auch: Aus $a\equiv b\pmod m$ folgt $a^k\equiv b^k\pmod m$ für jedes $k\ge0$ .

Gelöstes Beispiel

Endziffern der Siebenerpotenzen

Modulo 10 lauten die Reste von $7^1,7^2,7^3,7^4$ nacheinander $7,9,3,1$ . Danach beginnt derselbe viergliedrige Zyklus erneut.

Checkliste

Große Potenzen verkleinern

Einige Potenzreste berechnen.
Erste sichere Wiederholung markieren.
Zykluslänge bestimmen.
Großen Exponenten auf eine Zyklusposition reduzieren.
Rest ablesen und kontrollieren.

Achtung

Division ist nicht automatisch erlaubt

Aus $2\cdot1\equiv2\cdot4\pmod6$ folgt nicht $1\equiv4\pmod6$ . Kürzen ist nur unter zusätzlichen Bedingungen erlaubt; diese liefert der nächste Abschnitt.