Methodenwerkstatt-Training

Ordne jeder Situation eine Hauptmethode zu und begründe kurz: (a) letzte Ziffer von $9^{2026}$, (b) alle $n>0$ mit $n+3\mid4n+17$, (c) ganzzahlige Lösungen von $18x+30y=12$, (d) unter 20 Zahlen zwei mit durch 19 teilbarer Differenz.

Zeige für jede positive ganze Zahl $n$, dass $2^{3n}-1$ durch 7 teilbar ist.

Finde alle positiven ganzen Zahlen $n$ mit $n+5\mid2n+17$.

Finde die vollständige ganzzahlige Lösungsmenge von $26x+39y=13$.

Seien $a,b>0$ teilerfremd und gelte $a\mid c$ sowie $b\mid c$. Beweise vollständig, dass $ab\mid c$.

Finde die kleinste positive ganze Zahl mit genau 12 positiven Teilern und beweise die Minimalität.

Zeige: jede Folge von zehn ganzen Zahlen einen nichtleeren zusammenhängenden Block besitzt, dessen Summe durch 10 teilbar ist.

Beweise mit Parität und einem vollständig geprüften Widerspruchsargument, dass $\sqrt2$ irrational ist.