Kombinations-Training: Produkte

Zeige für jede ganze Zahl $n$, dass $n(n+1)$ durch 2 teilbar ist.

Zeige: Das Produkt dreier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen ist stets durch 6 teilbar.

Zeige: das Produkt vier aufeinanderfolgender ganzer Zahlen stets durch 24 teilbar ist.

Seien $a,b>0$, $\operatorname{ggT}(a,b)=1$ und $ab$ eine Quadratzahl. Zeige: $a$ und $b$ selbst Quadratzahlen sind.

Seien $a,b>0$ teilerfremd und $ab$ eine dritte Potenz. Zeige: $a$ und $b$ selbst dritte Potenzen sind.

Zeige für jede ganze Zahl $n$: $\operatorname{ggT}(n,n+2)$ ist 1 oder 2. Entscheide anhand der Parität von $n$, welcher Fall eintritt.

Zeige für jede ganze Zahl $n$, dass $n^5-n$ durch 30 teilbar ist.

Zeige für positive ganze Zahlen $n,k$, dass $n(n+1)\cdots(n+k-1)$ durch $k!$ teilbar ist.