Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen

Primzahlen und Primzahltests · Abschnitt 25 von 64

Intuition

Unzerlegbare Bausteine

Eine zusammengesetzte Zahl lässt sich in kleinere positive Faktoren zerlegen. Eine Primzahl ist unzerlegbar (außer $1$ und sich selbst) – die Bausteine aller ganzen Zahlen $>1$ .

Definition

Prim und zusammengesetzt

Eine ganze Zahl $p>1$ heißt prim, wenn ihre einzigen positiven Teiler 1 und $p$ sind. Eine ganze Zahl $n>1$ mit weiteren positiven Teilern heißt zusammengesetzt.

Typischer Fehler

Warum die 1 keine Primzahl ist

Die 1 besitzt nur einen positiven Teiler, eine Primzahl aber genau zwei verschiedene positive Teiler. Diese Festlegung macht später die Primfaktorzerlegung eindeutig.

Satz

Ein Primteiler existiert immer

Jede ganze Zahl $n>1$ besitzt einen Primteiler. Wähle dazu den kleinsten Teiler $d>1$ ; wäre $d$ zusammengesetzt, hätte $n$ bereits einen noch kleineren Teiler größer als 1.