Aufgaben 5–8: Olympiade-Niveau

Teilbarkeits-Olympiade · Abschnitt 63 von 64

Aufgaben 5–8

Aufgabe

Aufgabe 5: $p^2-1$

Olympiade12 Min.7 P.

Sei $p>3$ eine Primzahl. Zeige: $p^2-1$ durch 24 teilbar ist.

Aufgabe

Aufgabe 6: Genau neun positive Teiler

Olympiade12 Min.7 P.

Beschreibe alle möglichen Formen der Primfaktorzerlegung einer positiven ganzen Zahl mit genau neun positiven Teilern.

Aufgabe

Aufgabe 7: Teilbarkeit von $n^7-n$

Olympiade15 Min.8 P.

Zeige für jede ganze Zahl $n$ , dass $n^7-n$ durch 42 teilbar ist.

Aufgabe

Aufgabe 8: Primzahlen der Form $4k+3$

Olympiade20 Min.10 P.

Zeige: es unendlich viele Primzahlen gibt, die bei Division durch 4 den Rest 3 lassen.

Zusammenfassung

Fokus

Die zweite Hälfte verlangt kombinierte Primfaktoren, Exponentenmuster, eine vollständige Restklassenanalyse und schließlich eine neue Primzahlkonstruktion.

Aufgaben 5–8

Aufgabe 5: p2−1p^2-1p2−1

Aufgabe 6: Genau neun positive Teiler

Aufgabe 7: Teilbarkeit von n7−nn^7-nn7−n

Aufgabe 8: Primzahlen der Form 4k+34k+34k+3

Fokus

Aufgabe 5: $p^2-1$

Aufgabe 7: Teilbarkeit von $n^7-n$

Aufgabe 8: Primzahlen der Form $4k+3$