Teiler und Teileranzahl aus Exponenten

Primfaktorzerlegung und Exponenten · Abschnitt 30 von 64

Satz

Alle Teiler durch Exponentwahlen

Ist $n=p_1^{a_1}\cdots p_r^{a_r}$ , dann hat jeder positive Teiler eindeutig die Form $p_1^{b_1}\cdots p_r^{b_r}$ mit $0\le b_i\le a_i$ .

Formel

Formel für die Teileranzahl

Für jeden Exponenten $b_i$ gibt es $a_i+1$ Möglichkeiten. Daher ist $\tau(n)=(a_1+1)(a_2+1)\cdots(a_r+1)$ .

Gelöstes Beispiel

Beispiel mit 72

Aus $72=2^3\cdot3^2$ folgen $4\cdot3=12$ positive Teiler. Die vier Zweierexponenten und drei Dreierexponenten können unabhängig kombiniert werden.

Erkennen

Verbindung zu Quadratzahlen

Das Produkt $(a_1+1)\cdots(a_r+1)$ ist genau dann ungerade, wenn alle $a_i$ gerade sind. Das ist genau das Primexponentenkriterium für Quadratzahlen und erklärt Kapitel 3 erneut.