Teileranzahl und Quadratzahlen

Teilerpaare und die Anzahl der Teiler · Abschnitt 11 von 64

Gelöstes Beispiel

Beispiel: 36

Bei 36 ist $(6,6)$ das einzige Paar mit gleichen Partnern. Die übrigen Teiler bilden Zweierpaare; deshalb ist $\tau(36)=9$ ungerade.

Satz

Eine positive ganze Zahl hat genau dann eine ungerade Anzahl positiver Teiler, wenn sie eine Quadratzahl ist.

Beweis

Unter $d\mapsto n/d$ bleibt ein Teiler genau dann fest, wenn $d^2=n$ . Ohne Quadratwurzel bestehen nur Zweierpaare.