Die Sprache der Kongruenzen

Kongruenzen und Restklassen · Abschnitt 37 von 64

Intuition

Zahlen mit demselben Rest

Auf einer Uhr stehen 3, 15 und 27 an derselben Position – sie haben denselben Rest bei Division durch 12. Kongruenz fängt genau das ein: gleiche Reste, unterschiedliche Zahlen.

Definition

Kongruenz modulo m

Für $m>0$ bedeutet $a\equiv b\pmod m$ , dass $m\mid(a-b)$ . Gleichwertig lassen $a$ und $b$ bei Division durch $m$ denselben Rest.

Gelöstes Beispiel

Beispiel modulo 7

$47\equiv5\pmod7$ und $58\equiv2\pmod7$ . Deshalb ist $47+58\equiv5+2\equiv0\pmod7$ .

Satz

Restgleichheit ist eine Äquivalenz

Jede Zahl ist zu sich selbst kongruent, Kongruenz kann umgedreht werden, und aus $a\equiv b$ sowie $b\equiv c$ folgt $a\equiv c$ – jeweils beim selben Modul.