Die eindeutige Primfaktorzerlegung

Primfaktorzerlegung und Exponenten · Abschnitt 29 von 64

Intuition

Ein eindeutiger Bauplan

Wenn du eine Zahl immer weiter zerlegst, bleiben am Ende nur Primzahlen übrig. Die Reihenfolge des Zerlegens kann wechseln, der endgültige Vorrat an Primfaktoren aber nicht.

Satz

Fundamentalsatz der Arithmetik

Jede ganze Zahl $n>1$ lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig – das ist der Fundamentalsatz der Arithmetik.

Beweis

Warum eine Zerlegung existiert

Ist $n$ prim, sind wir fertig. Ist $n$ zusammengesetzt, zerlegen wir es in kleinere Faktoren und fahren mit zusammengesetzten Faktoren fort. Da die Faktoren dabei kleiner werden, endet der Prozess bei Primzahlen.

Satz

Euklids Lemma

Teilt eine Primzahl $p$ ein Produkt $ab$ , dann teilt $p$ mindestens einen der Faktoren $a$ oder $b$ . Damit kann in zwei Primfaktorzerlegungen derselbe Primfaktor auf beiden Seiten gekürzt werden; wiederholt liefert dies die Eindeutigkeit.

Hinweis für Begleitende

Zum Beweis von Euklids Lemma

Das Lemma ist der Kern des Eindeutigkeitsbeweises. Ein vollständiger Beweis folgt in Kapitel 10 über Bézouts Identität und modulares Kürzen; hier verwenden wir es als klar benannten Zwischensatz und nicht als versteckte Annahme.

Gelöstes Beispiel

Zerlegung von 756

$756=2\cdot378=2^2\cdot189=2^2\cdot3^3\cdot7$ . Die abschließende Multiplikation kontrolliert, dass kein Faktor verloren ging.