Teilerfremde Produkte und Potenzen

Parität, Produkte und Nachbarzahlen · Abschnitt 50 von 64

Satz

Quadrate teilerfremd aufspalten

Sind $a,b>0$ teilerfremd und ist $ab$ ein Quadrat, dann sind $a$ und $b$ selbst Quadrate.

Gelöstes Beispiel

Warum Teilerfremdheit entscheidet

Bei $18\cdot8=144$ ist das Produkt ein Quadrat, die Faktoren aber nicht. Sie sind nicht teilerfremd und können ihre ungeraden Zweierexponenten gegenseitig ergänzen.

Satz

Verallgemeinerung auf k-te Potenzen

Sind mehrere positive Faktoren paarweise teilerfremd und ist ihr Produkt eine $k$ -te Potenz, dann ist jeder einzelne Faktor eine $k$ -te Potenz. Jeder Primexponent gehört vollständig zu genau einem Faktor.

Erkennen

Erst den ggT prüfen

Bevor eine Potenzeigenschaft auf Faktoren verteilt wird, muss Teilerfremdheit bewiesen oder gegeben sein. Ohne sie ist die Aussage im Allgemeinen falsch.