Was bedeutet „teilt“?

Teiler, Vielfache und die Sprache der Teilbarkeit · Abschnitt 1 von 64

Intuition

Pakete ohne Rest

Stell dir vor, du legst 12 Kekse in Tüten zu je 3. Das geht restlos: 4 Tüten. Genau das meint Mathematik mit teilt: $3$ teilt $12$ , weil $12$ aus einer ganzen Anzahl von „3er-Paketen“ besteht.

Der Quotient (hier 4) ist dein Zeuge – er beweist die Teilbarkeit.

Definition

Teilbarkeit

Für ganze Zahlen $a\ne0$ und $b$ schreiben wir $a\mid b,$ wenn es eine ganze Zahl $k$ gibt mit $b=ak.$

Andernfalls: $a\nmid b$ .

Alltagssprache: „ $a$ teilt $b$ “ / „ $b$ ist Vielfaches von $a$ “.

Gelöstes Beispiel

Beispiel: Ein Teilbarkeitszeuge

Ja. $7\mid42$ , denn $42=7\cdot6$ und 6 ist ganzzahlig.

Nein. $7\nmid40$ , denn $40=7\cdot5+5$ – es bleibt Rest 5.

Zwei Blickrichtungen – dieselbe Aussage

$a$ ist ein Teiler von $b$ .
$b$ ist ein Vielfaches von $a$ .
Beide Sätze bedeuten exakt $a\mid b$ .