Unendlich viele Primzahlen

Primzahlen und Primzahltests · Abschnitt 27 von 64

Satz

Euklids Satz

Es gibt unendlich viele Primzahlen.

Beweis

Produkt plus 1

Angenommen, $p_1,\ldots,p_k$ wären alle Primzahlen. Die Zahl $N=p_1\cdots p_k+1$ lässt bei Division durch jedes $p_i$ Rest 1. Dennoch besitzt $N>1$ einen Primteiler. Dieser fehlt in der Liste – ein Widerspruch.

Hinweis für Begleitende

Muss die neue Zahl selbst prim sein?

Nein. Entscheidend ist nur, dass jeder Primteiler von $N$ neu ist. Zum Beispiel ist $2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13+1=30031$ zusammengesetzt, aber keiner seiner Primteiler steht in der verwendeten Liste.

Pädagogisches Denkmodell

Produkte gezielt um 1 verändern

Die Stufen beschreiben wachsende Strategiereife, nicht reale Personen oder Medaillengewinner.